[선형대수학#2] 행렬

선형대수학 기초: 행렬과 벡터

이번 글에서는 행렬(Matrix)과 벡터(Vector), 그리고 이들의 연산과 연립 일차 방정식과의 관계를 다룹니다.

목차

1. 행렬
2. 벡터
3. 행렬의 연산
   • 같은 행렬
   • 행렬의 덧셈
   • 행렬의 실수배
   • 일차 결합
   • 전치 행렬
   • 행렬의 곱셈
   • 벡터의 내적
4. 행렬과 일차 방정식
   • 행렬과 벡터의 곱
   • 행렬과 연립 일차 방정식 간의 관계

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1) 행렬 (Matrix)

행렬(matrix)은 수를 직사각형 형태로 배열한 것입니다. 일반적으로 \(m \times n\) 행렬은 \(m\)개의 행(row)과 \(n\)개의 열(column)을 갖습니다.

\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]

2) 벡터 (Vector)

벡터(vector)는 방향과 크기를 가진 수의 집합으로, 보통 열벡터 형태로 표현합니다.

\[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix} \]

예를 들어, 2차원 벡터 \(\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\)는 좌표평면에서 (3, 4)에 해당합니다.

3) 행렬의 연산

같은 행렬

두 행렬이 같다는 것은 크기가 같고, 같은 위치의 원소가 모두 동일함을 의미합니다.

행렬의 덧셈

같은 크기의 행렬끼리는 각 원소를 더하여 새로운 행렬을 만듭니다.

\[ A + B = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{bmatrix} \]

행렬의 실수배

행렬의 모든 원소에 어떤 실수 \(c\)를 곱하는 것을 실수배라 합니다.

\[ cA = \begin{bmatrix} ca_{11} & ca_{12} \\ ca_{21} & ca_{22} \end{bmatrix} \]

일차 결합 (Linear Combination)

벡터 \(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \dots, \mathbf{v}_k\)가 있을 때, 실수 \(c_1, \dots, c_k\)를 곱하고 더한 형태 \(\;c_1\mathbf{v}_1 + c_2\mathbf{v}_2 + \cdots + c_k\mathbf{v}_k\;\)를 일차 결합이라 합니다.

전치 행렬 (Transpose)

행렬의 행과 열을 맞바꾼 행렬을 전치 행렬이라고 합니다. \(A^T\)로 표기합니다.

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \]

행렬의 곱셈

\(m \times n\) 행렬 \(A\)와 \(n \times p\) 행렬 \(B\)가 있을 때, 곱 \(AB\)는 \(m \times p\) 행렬이 됩니다.

곱의 원소는 \((AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj}\)로 정의됩니다.

벡터의 내적 (Inner Product, Dot Product)

두 벡터 \(\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\)의 내적은 다음과 같이 정의됩니다.

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \cdots + u_nv_n \]

예를 들어, \(\mathbf{u} = [1,2]\), \(\mathbf{v} = [3,4]\)라면 \(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 1\cdot3 + 2\cdot4 = 11\)이 됩니다.

4) 행렬과 일차 방정식

행렬과 벡터의 곱

행렬 \(A\)와 벡터 \(\mathbf{x}\)의 곱은 선형결합을 표현합니다.

\[ A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 \end{bmatrix} \]

행렬과 연립 일차 방정식 간의 관계

연립 일차 방정식은 행렬 곱으로 간단히 표현할 수 있습니다.

\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{cases} \quad \longleftrightarrow \quad A\mathbf{x} = \mathbf{b} \]

즉, 연립 일차 방정식은 행렬 방정식 \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)로 요약할 수 있으며, 이는 선형대수학의 핵심 표현 방식입니다.