[선형대수학#3] 행렬 연산의 성질

이번 글에서는 행렬 연산의 성질과 주의할 점을 정리합니다.

목차

1. 행렬의 덧셈과 관련된 성질
2. 행렬 곱셈과 관련된 성질
3. 실수배와 전치 연산의 성질
4. 행렬 연산에서 주의할 점
5. 정리

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1. 행렬의 덧셈과 관련된 성질

같은 크기의 \(m \times n\) 행렬 \(A, B, C\)에 대해:

• 교환법칙: \(A + B = B + A\)
• 결합법칙: \((A + B) + C = A + (B + C)\)
• 항등원과 역원: \(A + O = A,\ \ A + (-A) = O\) (여기서 \(O\)는 영행렬)

2. 행렬 곱셈과 관련된 성질

곱셈이 정의되는 행렬 \(A, B, C\)에 대해:

• 결합법칙: \(A(BC) = (AB)C\)
• 분배법칙(오른쪽): \((A + B)C = AC + BC\)
• 분배법칙(왼쪽): \(C(A + B) = CA + CB\)

3. 실수배와 전치 연산의 성질

행렬 \(A, B\)와 실수 \(a, b\)에 대해:

• 스칼라 곱의 결합: \((ab)A = a(bA) = b(aA)\)
• 스칼라 분배법칙: \((a + b)A = aA + bA\)
• 행렬 분배법칙: \(a(A + B) = aA + aB\)
• 곱과 스칼라배의 호환: \((aA)B = a(AB) = A(aB)\)
• 전치의 성질: \((A^T)^T = A,\ \ (A + B)^T = A^T + B^T,\ \ (AB)^T = B^T A^T,\ \ (aA)^T = aA^T\)

4. 행렬 연산에서 주의할 점 (예시 포함)

실수의 일반적인 연산 법칙이 행렬에서는 성립하지 않는 경우가 많습니다.

4.1 곱셈의 교환법칙이 일반적으로 성립하지 않음

\(AB \neq BA\) (대부분의 경우)

\(A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\)

\(AB = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix},\quad BA = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\)

따라서 \(AB \ne BA\).

4.2 곱이 영행렬이어도 인수 중 하나가 영행렬일 필요는 없음

\(AB = O \Rightarrow\) (반드시 \(A=O\) 또는 \(B=O\)는 아님)

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}\)

\(AB = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

하지만 \(A \ne O, \ B \ne O\).

4.3 약분(취소법칙)이 일반적으로 성립하지 않음

\(AB = AC \Rightarrow\) (반드시 \(B = C\)는 아님)

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\quad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{bmatrix},\quad C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 0 \end{bmatrix}\)

\(AB = AC = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)

그러나 \(B \ne C\).