[선형대수학#2] 행렬의 연산

2026.03.07 - [Mathematics] - [선형대수학#1] 행렬(Matrix)

[선형대수학#1] 행렬(Matrix)

지난 포스팅에 이어 행렬의 연산과 관련 성질들에 대해 알아보겠습니다.

 

행렬의 연산(Matrix Operations)

같은 행렬

두 행렬 $A$, $B$가 같은 행렬이 되려면 크기가 같고 모든 대응하는 성분이 일치해야 한다. 즉 모든 $i$, $j$에 대해 $a_{ij}=b_{ij}$이면 $A=B$이다.

 

덧셈과 뺄셈, 실수배

크기가 같은 두 행렬의 덧셈과 뺄셈은 대응하는 성분끼리 연산한다.

 

$$C = A \pm B \Rightarrow c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij}$$

 

실수배(scalar multiplication)는 모든 성분에 같은 실수$r$을 곱하면 된다.

 

$$rA = \begin{bmatrix} 
ra_{11} & ra_{12} & \cdots \\ 
ra_{21} & ra_{22} & \cdots \\ 
\vdots & \vdots & \ddots 
\end{bmatrix}$$

 

일차 결합(Linear Combination)

여러 행렬과 실계수들의 조합인 일차 결합은 다음과 같이 정의된다.

 

$$\sum_{i=1}^{k} c_i A_i = c_1 A_1 + c_2 A_2 + \cdots + c_k A_k$$

 

전치 행렬(Transpose)

행렬 $A$의 행과 열을 서로 바꾼 것을 전치 행렬$A^T$라 한다. $ a_{ij}^T = a_{ji} $이므로, $A$가 $m \times n$행렬이면 $A^T$는 $n \times m$행렬이 된다.

 

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow A^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$

 

행렬의 곱샘

$A$과 $m \times p$행렬이고 $B$가 $p \times n$행렬일 때, $C=AB$의 성분$C_{ij}$은 다음과 같다.

 

$$c_{ij} = \sum_{l=1}^{p} a_{il} b_{lj}$$

 

결과 행렬 $C$는 $m \times n$행렬이 된다. 앞 행렬의 열 수와 뒷 행렬의 행 수가 일치해야만 곱셈이 가능하다는 점을 반드시 기억하자.

 

벡터의 내적(Inner Product)

두 벡터 $a$, $b$의 내적은 다음과 같이 정의된다.

 

$$a \cdot b = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i = a^T b$$

 

위 식을 다시 보면 아래와 같이 표현할 수 있다.

 

$$a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n$$

 

이걸 행렬 곱셈으로 표현하면, $a$를 전치시켜서 $1 \times n$행 행렬로 만든 뒤 $n \times 1$열 행렬 $b$와 곱하면 된다.

 

$$a^T b = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^{n} a_i b_i$$

 

결국 내적은 $m=1$, $n=1$인 행렬 곱셈의 특수한 경우다.

 

행렬 연산의 성질

행렬 $A,B,C$와 실수$a,b$가 주어졌을 때, 아래 성질들이 성립한다.

 

• $(A+B)+C = A+(B+C)$
• $A(BC) = (AB)C$
• $(A+B)C = AC + BC$
• $(AB)^T = B^T A^T$
• $(A^T)^T = A$

 

한편 아래 명제들은 일반적으로 성립하지 않는다. 이는 행렬 연산이 일반 수의 연산과 다른 지점이므로 주의하자.

• $AB = BA$ (행렬 곱셈은 교환법칙이 성립하지 않는다.)

Ex)

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$AB = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$

• $AB = O \Rightarrow A = O$ 또는 $B = O$ ($A \neq O, \quad B \neq O$ 이어도 $AB = O$가 될 수 있다.)

Ex)

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$

$$AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$$

• $AB = AC \Rightarrow B = C$ (역행렬이 없는 경우 소거 법칙이 성립하지 않는다.)

Ex)

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -5 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}$$

$$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = AC$$

 

$B \neq C$임에도 $AB = AC$. 공통적으로 $det(A)=0$이라 $A^{-1}$이 존재하지 않고, 따라서 양변에서 $A$를 소거할 수 없다.