[선형대수학#3] 행렬의 종류

2026.03.08 - [Mathematics] - [선형대수학#2] 행렬의 연산

[선형대수학#2] 행렬의 연산

 

지난 포스팅에 이어 행렬의 종류에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

행렬의 종류

선형대수에서 자주 등장하는 특수한 행렬들을 정리해 보자.

 

영행렬(Zero Matrix)

모든 성분이 0인 행렬이다.

 

$$O = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

 

수의 연산에서 0의 역할과 동일하다. $A + O = A, A + (-A) = O$가 성립한다.

 

대각 행렬(Diagonal Matrix)

대각선 위의 성분($a_{ij}$)만 값을 가지고, 나머지는 모두 0인 행렬이다.

 

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

 

대각 행렬끼리의 곱셈은 대각 성분끼리만 곱하면 되므로 계산이 매우 간단하다. 이후에 배운 고유값 분해(Eigen Decomposition)에서 등장한다.

 

스칼라 행렬(Scalar Matrix)

대각 행렬의 특수한 경우로, 대각 성분이 모두 값인 행렬이다. 

 

$$C = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$

 

항등 행렬에 스칼라를 곱한 형태로 $cI$로 표현할 수 있다.

 

항등 행렬(Identity Matrix)

스칼라 행렬에서 대각 성분이 모두 1인 특수한 경우다.

 

$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

 

수의 연산에서 1의 역할과 동일하다. $ AI_n=I_nA=A $가 항상 성립한다. 역행렬의 정의 $AA^{-1}=I_n$에서도 핵심적으로 등장한다.

 

상삼각 행렬(Upper Triangular Matrix)

대각선 아래의 성분이 모두 0인 행렬이다.

 

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$

 

상삼각 행렬의 $det$는 대각 성분의 곱 $a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}$으로 간단히 구할 수 있다.

 

하삼각 행렬(Lower Triangular Matrix)

대각선 위의 성분이 모두 0인 행렬이다.

 

$$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 3 \end{pmatrix}$$

 

상삼각과 마찬가지로 $det$를 대각 성분의 곱으로 바로 구할 수 있다.

 

대칭 행렬(Symmetric Matrix)

전치해도 자기 자신과 같은 행렬, 즉 $A=A^T$를 만족하는 행렬이다. $a_{ij} = a_{ji}$가 모든 성분에서 성립한다.

 

$$C = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 5 \end{pmatrix}$$

 

대각선을 기준으로 좌우가 대칭임을 확인할 수 있다. 공분산 행렬(Covariance Matrix)가 대표적인 대칭 행렬이다.

 

교대 대칭 행렬(Skew Symmetric Matrix)

$A=-A^T$를 만족하는 행렬이다. $a_{ij} = -a_{ji}$가 성립하므로, 대각 성분은 반드시 0이어야 한다. 

 

$$C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 2 & -3 & 0 \end{pmatrix} $$

 

부분 행렬(Submatrix)

행렬에서 특정 행과 열을 제거해서 만든 더 작은 행렬이다.

 

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

 

여기서 추출 가능한 부분 행렬의 예시로는 $\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ 등이 있다. 행렬식(Determinant) 계산에서 cofactor expansion을 할 때 사용된다.

 

분할 행렬(Partitioned Matrix)

행렬을 여러 개의 블록으로 나누어 표현한 것이다. 각 블록 자체를 하나의 성분처럼 취급해서 행렬 곱셈을 수행할 수 있다.

 

$$AB = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{pmatrix}$$

 

데이터가 방대해서 전체 행렬을 한 번에 메모리에 올릴 수 없을 때 분산 처리를 위해 사용된다.