[선형대수학#4] 역행렬

이번 포스팅에서는 행렬 중 가장 중요하게 다뤄지는 역행렬(Inverse Matrix)에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

역행렬

$A$가 $n \times n$행렬이고, $AB = BA  = I_n$을 만족하는 $n \times n$행렬 $B$가 존재할 때 $A$를 nonsingular(invertible) 행렬이라 하며, $B$를 $A$의 역행렬이라고 한다. 이때 $B = A^{-1}$로 표기한다.

 

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I_n$$

 

예를 들어 $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$에 대해 $AB = I$이 성립하므로 $B = A^{-1}$이다.

 

성질

• $ (AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1} $
• $ (ABC)^{-1} = C^{-1} B^{-1} A^{-1} $
• $ (A^{-1})^{-1} = A $
• $ (A^{-1})^T = (A^T)^{-1} $

역행렬의 순서가 뒤집힌다는 점을 주의하자. 즉 $(AB)^{-1} \neq A^{-1}B^{-1}$이다.

 

formula

Cofactor

$n \times n$ 행렬 $A$에서 $i$행과 $j$열을 제거한 부분 행의 행렬식을 Minor라 하며 $M_{ij}$로 표기한다. 여기에 부호를 붙인 것을 여인수(Cofactor), $C_{ij}$라 한다.

 

$$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$$

 

부호 패턴은 아래와 같다.

 

$$\begin{pmatrix} 
+ & - & + & \cdots \\ 
- & + & - & \cdots \\ 
+ & - & + & \cdots \\ 
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots 
\end{pmatrix}$$

 

이를 이용해서 $det(A)$를 다음과 같이 구할 수 있다.

 

$$\det(A) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} C_{ij}$$

 

Adjugate Matrix

모든 성분을 cofactor로 바꾼 행렬(cofactor matrix)을 전치한 것을 수반 행렬(Adjugate Matrix), $adj(A)$라 한다.

 

$$\text{cofactor matrix} = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix}$$

 

$$\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\ C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix}$$

 

역행렬의 일반식

$det(A) \neq 0$이면 역행렬이 존재하고, 다음과 같이 구할 수 있다.

 

$$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$$

 

이 일반식에서 $2 \times 2$행렬의 공식은 자동으로 유도된다. $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$에 대해 cofactor를 구하면 $\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$가 나오고, $det(A) = ad - bc$로 나오면 아래와 같은 식이 성립한다. 

 

$$A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

 

행렬식(Determinant)과 역행렬

역행렬의 존재 여부는 행렬식($det(A)$)로 판별할 수 있다.

 

"역행렬이 존재한다."와 $det(A) \neq 0$은 동치(equivalent)이다. 

 

이때 $det(A)$에 관한 성질들이 몇 가지 있는데 정리하면 다음과 같다.

 

• 두 열(혹은 행)이 같으면 $det(A) = 0$
• 모든 성분이 0인 열(혹은 행)이 있으면 $det(A) = 0$
• 하나의 열에 실수 $r$을 곱한 행렬 $B$에 대해 $det(B) = r \cdot det(A)$
• $A$가 상삼각(혹은 하삼각) 행렬이면 $det(A) = a_{11}a_{22} \cdots a_{nn}$
• 하나의 열에 $r$을 곱해 다른 열에 더해도 $det(A)$는 변하지 않는다. (이후의 elementry row operation의 성질에서 다시 등장합니다.)
• $det(AB) = det(A)det(B)$
• $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$