[선형대수학#5] 행렬 변환

변환(Transformation)

함수$T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$은 $ \mathbb{R}^n$의 각 벡터 $x$를 $ \mathbb{R}^m$의 벡터 $T(x)$로 대응시키는 규칙이다. 이때 $ \mathbb{R}^n$을 도메인(Domain), $ \mathbb{R}^m$을 코도메인(Codomain)이라 한다. $T(x)$를 $x$의 이미지(image)라 하고, 모든 이미지의 집합을 치역(range)이라 한다.

 

 

행렬 변환(Matrix Transformation)

$m \times n$ 행렬 $A$가 있을 때, $n \times 1$ 벡터 $x \mapsto Ax$로 정의된 변환을 행렬 변환이라 한다.

 

$$T(x) = Ax$$

 

행렬 곱셈의 크기 조건을 따라가보면:

 

$$(m \times n) \times (n \times 1) = m \times 1$$

 

즉 $n$차원 열벡터를 입력으로 받아 $m$차원 열벡터를 출력으로 내보내는 변환이다. 이게 바로 $ T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$의 의미다.

 

선형 변환(Linear Transformation)

변환 $T$가 다음 두 조건을 만족하면 선형 변환이라 한다.

 

$$T(u + v) = T(u) + T(v)$$

$$T(cu) = cT(u)$$

 

중요한 사실은, 모든 행렬 변환은 선형 변환이라는 것이다. 역도 성립한다. 선형 변환이면 반드시 그것을 표현하는 행렬이 존재한다.

 

표준 행렬(Standard Matrix)

선형 변환$ T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$이 주어지면, 이를 표현하는 유일한 행렬$A$가 존재한다.

 

$$T(x) = Ax$$

 

이 $A$를 T의 표준 행렬이라 하며, 다음과 같이 구할 수 있다.

 

$$A = \begin{pmatrix} T(e_1) & T(e_2) & \cdots & T(e_n) \end{pmatrix}$$

 

$e_j$는 $n \times n$항등 행렬의 $j$번째 열, 즉 $j$번째 표준 기저 벡터다. 표준 기저 벡터들의 이미지를 열로 나란히 쌓으면 standard matrix를 구할 수 있다.

 

예를 들어, $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 가 벡터를 $ x_1 $축 기준으로 대칭시키는 변환이라고 하자.

표준 기저 벡터는 $e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$이다.

$x_1$축 대칭은 $x_1$ 성분은 그대로, $x_2$ 성분의 부호만 바뀐다. 따라서:

 

$$T(e_1) = T\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad T(e_2) = T\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$

 

이 둘을 열로 나란히 쌓으면 standard matrix $A$가 된다.

 

$$A = \begin{pmatrix} T(e_1) & T(e_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

 

확인해보면, 임의의 벡터 $x = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix}$에 대해

 

$$Ax = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -5 \end{pmatrix}$$

 

$x_1$ 성분은 그대로 3, $x_2$ 성분만 부호가 바뀌어 -5가 됐다. $x_1$축 대칭 변환이 정확히 표현된 것이다.

 

 

$ \mathbb{R}^2 $에서 자주 등장하는 변환들의 standard matrix는 다음과 같다.

• $x_1$축 대칭: $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
• $x_2$축 대칭: $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
• 원점 대칭: $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$
• $90^\circ$ 반시계 회전: $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$
• 수평 전단 ($k$): $\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

어떤 복잡한 기하학적 변환도 결국 행렬 하나로 압축된다는게 핵심이다.

 

Onto와 One-to-one

선형 변환 $  T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$의 성질(이 변환이 얼마나 잘 동작하는가)을 두 가지 기준으로 파악할 수 있다.

 

전사(Onto): $ \mathbb{R}^m$의 모든 벡터 $b$에 대해 $T(x) = b$의 해가 적어도 하나 존재하는 경우다. 치역이 코도메인 전체와 같다. 즉 출력 공간을 다 커버하는가의 문제다.

 

단사(One-to-one) $ \mathbb{R}^m$의 각 벡터 $b$에 대해 $T(x) = b$의 해가 많아야 하나 존재하는 경우다. 서로 다른 입력이 같은 출력으로 하지 않는다. 즉 서로 다른 두 입력이 같은 출력으로 가지 않는가의 문제다. 

 

출처: https://brilliant.org/wiki/bijection-injection-and-surjection/

 

결국 "이 변환으로 $ \mathbb{R}^m $ 전체를 표현할 수 있는가"와 "입력 정보가 손실 없이 출력에 반영되는가", 이 두 가지 성질을 기준으로 변환의 특성을 파악한다는 의미다.

 

이 성질들은 standard matrix $A$의 열로 판별할 수 있다.

• $T$가 onto $\Leftrightarrow$ $A$의 열들이 $\mathbb{R}^m$을 span한다.
• $T$가 one-to-one $\Leftrightarrow$ $A$의 열들이 선형 독립(Linearly Independent)이다.

 

one-to-one의 동치 조건이 하나 더 있다. $T$가 one-to-one $\Leftrightarrow$ $T(x) = 0$의 해가 오직 자명해(Trivial solution, $x=0$)만 존재한다.